浅析历年国考行测中的小题型：剩余问题

在古书《孙子算经》中有一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。我们称这类问题为孙子问题。类似问题在公务员考试行测中也会考到，考生们也要对其进行全面了解。

一、剩余问题的基础解法

【例1】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。

【查字典公务员解析】这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢?我们试试看。

满足除以3余2的数，有2，5，8，11，14，17，

在上面的几个数字中再找满足除以5余3的数，这个数就是8，8是同时满足除以3余2、除以5余3两个条件的数，容易看出，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有

8，23，38，53，68，

在上面的数中再找满足除以7余2的数，可以找到23，23是同时满足除以3余2、除以5余3、除以7余2三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。

在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。

二、剩余问题的特殊情况

(1)余同(余数相同)加余

【例题2】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。

A.120 B.122 C.121 D.123

【答案】B

【查字典公务员解析】由题意可知该校二年级的学生人数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0，1，2，3)，当n=2时，N=122，选择B项。

注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。

(2)和同(除数和余数的和相同)加和

【例题3】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?

A.3 B.2 C.4 D.5

【答案】A

【查字典公务员解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0，1，2)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8，218，428三个数。

注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。

(3)差同(除数与余数之差相同)减差

【例题4】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

【答案】A

【查字典公务员解析】通过观察我们会发现除数与余数的差均为1，因此台阶数满足：N=60n-1(n=1，2，3)，可发现A项满足该通项公式。

三、剩余问题的特殊情况

用同余特性解题

【例题5】三位数的自然数P满足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，则符合条件的自然数P有多少个?

A.5 B. 4 C. 6 D. 7

【答案】B

【查字典公务员解析】此题不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，P满足除以3余2，除以7余3两个条件时，在P的基础上加上4，即(P+4)这个数一定是能够被3整除以及被7整除的，因此(P+4)=21n，所以P=21n-4①，得到的这个通项公式再与除以11余4进行找通项公式。该自然数P=21n-4=11a+4，等式左边都是被11除，等式左边的余数为10n-4，等式右边的余数为4，我们知道一个数被11除余4，也可以认为这个数被11除余15，或被11除余26等。根据同余特性可知，等式左边的余数10n-4应与等式右边的余数4，15，26等数值相等。因为n要取整数，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59这个数是满足题干三个条件的最小数，所以，满足题干三个条件的数P=231n+59(n=1，2，3)，所以在三位数以内的数有290，521，752，983四个数。选择B项。

查字典公务员教育专家相信考生通过以上讲解一定能对剩余问题有更深刻、全面的认识，同时提高做题效率，提升行测分数。