中国剩余定理在数学运算中的运用

一、中国剩余定理的由来

我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。用

现在的话来说就是：有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个? 这个问题的解题思

路，被称为孙子问题、鬼谷算、隔墙算、韩信点兵等等。

二、中国剩余定理算理及其应用

明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

三人同行七十（70）稀，

五树梅花廿一（21）枝，

七子团圆正月半（15），

除百零五（105）便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：

702＋213＋152－1052=23

为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个

一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数

，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

三、中国剩余定理的应用

主要是是针对那些我们学的口诀公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差以外的余数问题的题目。

【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

A．81 B．34

C．128 D．103

【答案】B

【解析】本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用202=40；

使15被4除余1，用153=45；

使12被5除余1，用123=36。

然后，401＋452＋364=274，

因为，27460，所以，274－604=34，就是所求的数。所以选择B选项。

【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

A．53 B．34

C．128 D．73

【答案】A

【解析】本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用562=112；

使24被7除余1，用245=120。

使21被8除余1，用215=105；

然后，1122＋1204＋1055=1229，

因为，1229168，所以，1229－1687=53，就是所求的数。所以选择A选项。

【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

A．24 B．46

C．299 D．73

【答案】C

【解析】本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用882=176；

使55被8除余1，用557=385；

使40被11除余1，用408=320。

然后，1764＋3853＋3202=2499，

因为，2499440，所以，2499－4405=299，就是所求的数。所以选择C选项。

【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？

A．95 B．116

C．99 D．302

【答案】D

【解析】本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用358=280；

使45被7除余1，用455=225；

使63被5除余1，用632=126。

然后，2805＋2251＋1262=1877，

因为，1877315，所以，1877－3155=302，就是所求的数。所以选择D选项。