联考综合数学辅导：排列、组合、概率的概念

排列、组合、概率都与集合密切相关。排列和组合都是求集合元素的个数，概率是求子集元素个数与全集元素个数的比值。

以最常见的全排列为例，用S(A)表示集合A的元素个数。用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，则每一个九位数都是集合A的一个元素，集合A中共有9!个元素，即S(A)=9!

如果集合A可以分为若干个不相交的子集，则A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把复杂的问题化为若干简单的问题分别解决，但我们要详细分析各子集之间是否确无公共元素，否则会重复计算。

集合的对应关系

两个集合之间存在对应关系(以前学的函数的概念就是集合的对应关系)。如果集合A与集合B存在一一对应的关系，则S(A)=S(B)。如果集合B中每个元素对应集合A中N个元素，则集合A的元素个数是B的N倍(严格的定义是把集合A分为若干个子集，各子集没有共同元素，且每个子集元素个数为N，这时子集成为集合A的元素，而B的元素与A的子集有一一对应的关系，则S(A)=S(B)*N

例如：从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六个数，问能组成多少个数字不重复的六位数。

集合A为数字不重复的九位数的集合，S(A)=9!

集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3!

这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则

S(A)=S(B)*3!

S(B)=9!/3!

组合与排列的区别在于，每一个组合中的各元素是没有顺序的。无论这些元素怎样排列，都只当作一种组合方式。所以在计算组合数的时候，只要分步，就意味有次序。取N次，N件物品的N!种排列方式都会被当作不同选法，该选法就重复计了N!次。比如10个球中任取三个球，取法应该是C(10，3)，但如果先从10个中取一个，得C(10，1)，再从9个中取一个得C(9，1)，再从8个中取一个得C(8，1)，再相乘结果成了P(10，3)，结果增大了3!倍。

概率的概念。在有限集合的情况下，概率是子集元素个数与全集元素个数的比值。在无限集合的情况下，概率是代表子集的点的面积与代表全集的点的面积的比值。

概率分布函数可以描述概率分布的全貌。离散型的概率分布是一组数列，计算事件发生的概率、数学期望和方差都使用数列的计算方法。连续型的概率分布是一个函数， 它等于概率密度函数的积分，计算事件发生的概率、数学期望和方差都使用积分的计算方法。

概率的概念不难理解，解题能力决定于对数列和积分中的方法掌握的熟练程度。