经济类数学指导：简单递推数列通项公式的通用解法

以下记A(N)为数列第N项

1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求数列通项公式

解：由题意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]

即 A(N)+1是以2为首项，2为公比的等比数列

因此 A(N)+1=2^N

数列通项公式为 A(N)=2^N-1

2、通用算法

已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求数列通项公式

解：设 A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

解得 X=Q/(P-1)

因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为首项，P为公比的等比数列

由此可算出A(N)通项公式

3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项公式

解题思路：设 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出

A(N)+X*A(N-1)的通项公式

再解二元一次方程得出A(N)

注：可能只有一组解，但另有解决办法。

4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：

N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。

解：设A(N)为球数为N时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数，

易知A1=0，A2=1

当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子

在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，

问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A(N-2)

在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，

则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，

放法总数为：A(N-1)

因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

上式可变换为： A(N)-NA(N-1)

=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

按等比数列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

上式除以N!得出：

A(N) A(N-1) (-1)^N

------- = ---------------- + -----------------

N! (N-1)! N!

把 A(N)/N!当作新的数列， 把(-1)^N/N!也作为一个数列

则 A(N)等于数列 (-1)^N/N!从第二项到第N项的和再乘以N

另外可得出：

N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C(N，K)*A(N-K)