政法干警行测数量绝杀技-同余定理及其应用

各位考生朋友大家好!我是查字典公务员教育政法干警行测老师朴锦哲，现在开始我们一起探讨一下有关行测数量关系学习的知识与技巧,帮助大家从开始的头疼数量关系,甚至是有放弃数量关系的想法,到熟练掌握应答数量关系的技巧,快速地解答数量关系的题目,从而在政法干警行测考试中取得理想的成绩,笑傲群雄,脱颖而出。

在我们解决整除问题中，或者说在我们解决数量关系的过程中，我们会发现题干的描述，或者说在整理这个问题的过程当中，我们发现，某一个数据，它具体的特点并不是被某一个数据整除，而是除以某一个数之后，会有一个明确的余数。比如说，有一筐梨，然后我们把它分给一些小朋友，如果每一个人分到5个的话，最后会剩2个。那这个时候，我们就发现：梨的个数它并不是直接能够被5整除，而是除以5之后能够余2。除以某一个数之后，它的余数是明确的。所以，在整除的这一部分，我们还要讲到余数的一些特性，最主要的我们就讲到一些，同余特性。

同余特性包括四个性质：

一、余数的和决定和的余数;

二、余数的差决定差的余数;

三、余数的积决定积的余数;

四、余数的幂决定幂的余数。

首先我们学习一下第一个，余数的和能决定和的余数。

什么意思?我举一个例子，我现在有两堆苹果，一堆苹果有53个，一堆苹果有84个，然后呢，我说我把这两堆苹果平均分给一些小朋友，每一个人分9个，最后会剩下几个?其实这个问题，它问的是什么?就是53加上84，它的结果除以9余多少的问题，对吧?那么这个时候，我们可以怎么算?直接求和就等于137，直接考虑137除以9的余数，除以9的余数的话，各位数字之和除以9余几，这个数字本身就除以9余几。所以，我们会发现这个数除以9是余几的?余2的。除以9是余2的。那么余数的和决定和的余数，它利用到的是一种什么样的思维呢?就是，我们并不需要把这两堆苹果合到一起再去分，而是可以一堆一堆的去分，是这样的吧。那53个苹果平均分给9个小朋友，那么这个时候会剩几个?45余8。第一堆苹果就会剩下8个，是这样的吧。那第二堆苹果呢?84个苹果平均分给9个小朋友，它会剩几个?剩3个。那么加在一起，一共剩了多少?11个。而这11个苹果可以再分给这9个小朋友，然后剩几个?然后剩2个。所以，这就叫做余数的和决定和的余数。这是它应用的一个基本的原理。大家能够理解这个意思吗?这就是第一条性质。

那么第二条性质，和它类似的，叫做余数的差能决定差的余数。其实道理和刚刚我们说的那个道理是一样的。和是成立的，那么差也是成立的。

第三条，叫做余数的积能决定积的余数。

乘积关系。那么还可以举例子。比如说，现在有53堆苹果，每堆苹果都有83个，问这53堆苹果平均分给9个小朋友之后，最后会剩下几个苹果?我要求解的是一个什么问题?是不是就是53乘上83最后除以9的余数的问题?对吧?如果我们计算出结果再去除9，我们就会发现两位数乘法，并不能够很快的确定答案，但是，我们可以利用余数的积决定积的余数，来思考这个问题。那也就是说，53堆苹果，每堆都有83个，我可以一堆一堆的分，是这样的吧?每堆都会剩下2个，对吧?这53堆苹果每堆都剩下2个，最后是多少呢?53*2这么多个。那53*2，我们说乘法是有交换律的。 53*2就相当于是2*53,53堆苹果，每堆里边有2个，就相当于是2堆苹果，每堆里边有53个，所以这个时候，我们可以把它想成是两堆苹果，每堆有 53个，再去分给9个小朋友，那每堆剩下几个?53除以9余8,8*2,二八一十六，16除以9余7，所以，我们就可以通过这样一个判断，余数的乘积能够决定乘积的余数，我们可以直接判断53*83除以9的余数是7.那么第一条，第二条，第三条，余数的和，余数的差、余数的积分别能够决定和、差、积的余数。

这样的一个应用，它在我们考试的过程当中，主要会体现在在不定方程的求解过程当中。比如说，我们可以举一个例子。我们通过题干的描述，然后列出了一个方程，是3x+y=100，然后让我们求解y是多少。这道题问的是y是多少，而题干我们就不描述了。反正通过题干我们可以列出这样的一个方程3x+y=100，别的条件没有了。那么，这个时候我们就要去求解3x+y=100中的x和y，仅有一个条件就是x和y都是整数。然后这个时候，它给出的四个选项，A说33，B说34，C说35，D说36，问y应该等于多少?那这个时候，只有一个方程，却有两个未知数，标准的求解我们是没有办法实现的。所以这个时候，我们就需要，通过它的一些特性的判断，来在四个选项当中，锁定答案。大家能够理解这个意思吧?那么我们来看，通过什么样的特性能够锁定答案呢?我们还是要消掉一个未知数，那么通过什么样的方式来消掉这个未知数呢?我们可以使两边同时除以3，因为x是整数，所以3x一定是3的整数倍，所以我等式两边同时除以3，我就可以消掉x，通过什么样的方式来消掉x?3x除以3的余数一定是0，y除以3的余数，我们不知道，但是我们求解100除以3的余数，是1.在这个加和过程当中，我们发现余数有一个什么样的特点?是0加上y除以3的余数等于1，所以我们可以根据余数的和能够决定和的余数就可以判断y除以3余1，所以我们可以判断y是除以3余1的数，那么在四个选项当中，我们就可以找到，哪个数是除以3余1的?B选项。就可以快速的进行求解。所以，同余特性的前三个，余数的和、差、积能够决定和、差、积的余数。这个考点主要是应用于不定方程的求解。

第四个是什么呢?叫做余数的幂能决定幂的余数。

比如说，问8的三次方除以7的余数是多少?这个时候，我们可以算出8的三次方，然后用它去除以7，看余数到底是多少? 同时我们还可以怎么想?其实还是与用和去解释乘积是一样的。8的三次方其实相当于什么?8乘8乘8，那么它除以7的余数呢?就由乘积的余数能够决定乘积的余数，就是1乘1乘1等于1，所以8的三次方除以7的余数就是1.大家能够理解这个意思吧?理解吗?余数的幂能决定幂的余数。这是我们说同余特性。它的四个性质。

那么它的应用。刚才我们说了，第一个就是不定方程的求解;那么第二个呢，就是常见的一些星期问题。比如说，小张小王和小李，三个人有一个习惯，小张每15天会去一次图书馆，小王呢，每16天去一次图书馆，小李呢，每17天会去一次图书馆。现在某一个星期一，小张、小王、小李在图书馆相遇了。问下一次小张、小王、小李相遇会是在星期几?那么它首先应该是一个什么样的问题?是一个最小公倍数周期性问题，那么，也就是说他们要想在相遇就得同时过15,16,17的整数倍天，所以我们首先要求出15,16,17的最小公倍数。而我们说他们三个的最小公倍数怎么求?那应该是15乘上16乘上17，因为这三个数字互质，所以他们的乘积就是他们的最小公倍数。那么这道题就换成什么问题?星期一在过15乘16乘17这么多天后是星期几?所以我们要考虑，这个数字除以7的余数，然后加到星期一上面，对吧?那么这三个数除以7的余数是多少?如果我们要把它算出来的话，就比较麻烦了，所以我们这个时候就可以应用什么?余数的乘积能够决定乘积的余数。15除以7余1,16除以7余2,17除以7余3,1乘2乘3得到6,6除以7余6，所以，他们这次相遇是在星期一，下一次相遇就应该往上加6天，是星期日。所以，同余特性它的应用，还用应用到一些星期问题当中。这个就是我们对整个整除特性的考点的整理。

我们还是通过一道例题检验一下大家对于同余定理的掌握情况：

例4：a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3a-b除以5余几?

A.1 B.2

C.3 D.4

【查字典公务员解析】如果a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3a-b除以5余几?问道余数，那么刚才我们说到了，问到余数，其实和问到整除是相关的。什么叫整除?就是余数为0,。所以当我们看到这样的一个问法的时候，看到余数的概念的时候，我们也要想到整除，而且我们要想到整除里边我们学到的哪个知识?同余特性。知道了吧?如果a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3a-b除以5余几呢?是不是应用到同余特性的前三条，3倍的a，因为余数的乘积能够决定乘积的余数，a除以5余1,3乘上5除以5就余3，b除以5余4，余数的差能够决定差的余数，3减4得到什么?-1，是吧?-1除以5余几呢?余四，是吧?通过加5减5来变成一个0到除数之间的数，我们就可以确定余数了。

课外拓展

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?答曰：二十三。《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广物不知数的问题。德国数学家高斯于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》物不知数问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为中国的剩余定理。另外还有一道，曰：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。而这个剩余定理也是政法干警考试行测常考的内容之一。

政法干警考试行测逻辑判断攻略大全

史上最全公考常识大盘点--政法干警行测常识40000问

政法干警考试行测常识：3000问在手 常识不再发愁