全景解析公务员行测考试数学同素分堆问题
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同素分堆问题是求方法数问题的一种基本题型。它的最基本的模型是:
把n个相同的元素分成m堆,每堆至少1个,问有多少中不同的分法?
这里的同素即相同的元素,在这个模型中,最关键的是每堆至少1个这句话,必须是每堆至少一个,才可用我们接下来要讲的解决这类问题的方法:隔板法。
【例1】把10本相同的书分给3个班级,每班至少1个,问有多少种不同的分法?
【思路】本题中同素:是10本相同的书,故n=10;
分给3个班级:即将书分成3堆,故m=3;
每班至少1本。
故本题为同素分堆问题的最基本的模型。
解决方法:隔板法。把10本书排成一排,因为书是相同的,不存在排列顺序问题。
【查字典公务员解析】由于两个隔板的放置的位置不同就已经体现了三个班级分得书本数的可能性,故只要在9个空中选2个位置放隔板即可,不需要选完之后再排列,用组合即可,即隔板的放置方法共有
【查字典公务员总结】把n个相同的元素分成m堆,每堆至少1个,有
然而,行测数学运算部分关于此知识点的考查往往是基本模型的变形的形式。和基本模型的主要区别在于,题干中所给的条件不在是每堆至少1个,而是每堆至少多于1个,当问题这样变形后,就不能直接用隔板法解决了。
【例2】把10本相同的书分给3个班级,每班至少2本,问有多少种不同的分法?
【查字典公务员解析】这个问题中,在分书时,要求的是每班至少2本。我们说,在应用隔板法解决同素分堆问题时,要求必须是每堆至少1个。为此,解决不是每堆至少1个的同素分堆问题时,我们用转化的思想。即想办法把每班至少多于1个转化成每堆至少1个,再应用隔板法解题。
本题中就可以通过先每班分一本书,然后还剩7本书,所以本题就转化为:
把7本相同的书分给3个班级,每班至少一本,问有多少中不同的分法?
应用隔板法:n=7,m=3,故有 种不同的分法。
【查字典公务员总结】在应用隔板法解决同素分堆问题时,一定要区分题干中要求是每堆至少分多少。如果是每堆至少分1个,可直接应用隔板法解题;如果每堆至少分的多于1个,则应该将其转化为每堆至少分1个的情况,再应用隔板法。