高等数学7大定理

2017年高等数学复习，对定理的掌握一定要熟练，系统化，查字典公务员考研整理了高等数学重要的定理，17年考生在复习的时候一定要扎实掌握以下几个：

1、函数的有界性

在定义域内有f(x)K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、函数的单调性、奇偶性、周期性

3、数列的极限

定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

4、函数的极限

　　函数极限的定义中0|x-x0|表示xx0,所以xx0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

　　定理(极限的局部保号性)如果lim(xx0)时f(x)=A，而且A0(或A0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)0(或f(x)0)，反之也成立。

　　函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

　　一般的说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

　　5、极限运算法则

　　有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;

　　如果F1(x)F2(x),而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么ab。

　　6、极限存在准则

　　两个重要极限lim(x0)(sinx/x)=1;lim(x)(1+1/x)x=1。

　　夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：ynzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

　　单调有界数列必有极限。

　　7、函数的连续性

　　设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

　　不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(xx0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(xx0)f(x)存在，但lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

　　如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

　　有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

　　如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x),xIx}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

　　定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

　　定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即mM。

　　定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点

　　定理(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么对于A与B之间的任一数C，在开区间(a,b)内至少有一点使f()=C，(a

　　推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

　　数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。查字典公务员考研特为广大学子推出2017考研OL乐学、全年集训、精品网课系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。同时，查字典公务员考研一直为大家推出考研直播课堂，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力！