考研高数：导数与中值定理定理汇总

考研高数一直是考生们的一个大难题。下面是查字典公务员考研对高等数学中导数与微分，中值定理与导数应用这部分定理的整理总结，分享给各位考生，希望对考生们的复习有所帮助。

第二章 导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-(x0)右导数f+(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章 中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a,b)上可导，且 f(a)=f(b)，那么至少存在一点 (a、b)，使得 f)=0。。

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f)/F)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、/、0、-、00、1、 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f(x)0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f(x)0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)=0，f(x0)0那么：(1)当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极大值;(2)当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f(2)令f(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

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