考研数学高等数学复习指导：导数的应用

导数的应用是考研考查导数的一个重要方面，在数三中往往还会出现一个大题是来直接考察导数的应用。导数的应用对数一和数二的要求是物理学的背景应用，数三要求的是经济学的背景应用，所以同学们应该了解简单点的背景知识。在物理学中考查比较都的是路程、速度、加速度的关系，同学们要知道的是路程对时间求一次导数是速度，对时间求二阶导数是加速度。数三关于经济学的应用同学们要知道的是，导数和弹性、边际的概念，弹性是经济学中所特有的一个概念它值得是，自变量变动百分之一，因变量变动的百分比，然后两个相除，很多同学把它和求导弄混了，弹性可不等于导数。导数要去的是自变量变化量和因变量变化量之比。

关于导数的应用中需要同学们掌握的是，第一如何求解切线和法线;第二单调性的讨论;第三极值的求解;第四凹凸性的讨论;第五拐点的求解;第六渐进性的求解;第七曲率的求解(数一、数二)。

这七个中第一个和第七个不是重点，因为这两个相对独立，切线和法线的重点就是求某一个点的导数，曲率的求解就是求某个点的二阶导数的问题，所以这个都相对比较独立，考察也不是重点。

重点是第二个单调性和极值，单调性的求解中需要求解的是单调区间，而单调区间在求解中，需要注意的是，那些分界点的来源可能有那些。第一个来源就是一阶导数等于零的点，因为一阶导数等于零的点可能会在它的左边和右边出现正负不一样，也就是原来的函数的单调性变化。而第二个来源就是使得函数没有意义的一些特殊的点，比如分母是零的时候x的点，在这些点的左右也有可能是出现单调性不一样。在求解出这些分界点后，只需要判断在某个区间内部，导数是大于零还是小于零了。导数大于零表示在这个区间是增函数，导数小于零表示的是一个减函数。

第三个就是求解极值的问题，首先需要明白的是，极值是一个局部的概念，极值中，极大值仅仅表示在这个点的一个小的邻域内部，它这点的值最大而已，所以极大值不一定会比极小值大。第二个需要同学们掌握的是，极值只能出现在一个区域的内部，不可能出现在边界点，第三个就是极值和最值的关系，本来这两个是没有什么关系的，但是不幸的是，万一最值没有在边界点取到，那么这个最值点一定是极值点。如何求解极值的问题有两个充分条件，第一个充分条件是，如果在某一个点左边是增函数右边是减函数那么在这个点是极大值，如果在这个点的左边是减函数右边是增函数，那么在这个点是极小值。第二充分条件是说如果在某一个点的一阶导数等于零但是二阶导数不等于零，那么这个点一定是极值点，其中二阶导数大于零那么是极小值，二阶导数小于零是极大值。这个就是在极值这儿同学们需要掌握的。