考研数学线性代数复习指导：向量的三种运算

对于矩阵，我们定义了三种运算：加法、数乘、转置和乘法。这些运算可以应用到向量上得到向量的相应运算。

向量的加法和数乘合起来称为线性运算。通过线性运算，我们可以定义向量的两个核心概念：线性表出和线性相关。

1. 线性表出

线性表出，顾名思义，就是用线性的方式表示出来。何为线性的方式，怎么表示出来的?我们看一个例子，对于向量组(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前两个向量构成的向量组表示?不难发现是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看，等式的右端只有线性运算(加法和数乘)，这就是前面提到的线性的方式。这样我们称向量(2 3)可以由向量组(1 0)，(0 1)线性表出。注意到等号右面的式子是用线性的方式把向量(1 0)，(0 1)组合起来了，所以我们称之为(1 0)，(0 1)的一个线性组合。

这样我们就对线性组合及线性表出的概念有了个基本认识。这样是否就够了呢?当然不够。我们在学马克思主义哲学时有由感性认识上升到理性认识之说。理性认识更深刻，是对事物本质的把握。尽管感性认识、理性认识用在这里未必恰当，但道理是相通的。我们通过例子对概念的理解很难说把握住了概念的本质。要体会其本质，还是要从严格的定义出发。

这里要提醒广大考生：对于考研数学中的一些较难理解的概念，有同学觉得定义太抽象，进而放弃了对定义的理解，而试图通过具体的例子理解概念。觉得弄懂了例子，概念就算是理解了。这是不可靠的。从学知识的角度，弄懂例子谈不上理解了概念的内涵和外延;从考试的角度，考试考查的是考生对概念的理解和运用，某个具体的例子只是一种具体的应用，所以离考试要求有距离。

下面我们看一下线性组合和线性表出的定义：

对于任意一组实数k1，k2，，kn，称k1乘alfa1+ k2乘alfa2++ kn乘alfan为向量组alfa1，alfa2，，alfan的一个线性组合。

注意到对于同一个向量组，给定一组实数，则得到一个线性组合，可见一个向量组的线性组合有无穷多个。

若向量beta能写成alfa1，alfa2，，alfan的一个线性组合，则称向量beta能由向量组alfa1，alfa2，，alfan线性表出。

关于线性表出的定义需注意以下几点：

(1)实数k1，k2，，kn(或称组合系数)可以全为零，这和线性相关的定义不同。

(2)零向量可以由任何同维的向量组线性表出(把实数k1，k2，，kn取成全为零即可)。

(3)向量组里任何一个向量可由向量组线性表出(把该向量对应的实数取成1，其余实数取成零即可)。

讨论完线性表出这个核心概念后，我们来讨论向量部分另一个核心概念：线性相关。

我们先看一个例子：

向量组I：(1 0)，(0 1)，(2 3);向量组II：(1 0)，(0 1).

我们观察向量组I，不难发现(2 3)可由其余向量(1 0)，(0 1)线性表出：(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太严格地理解成(2 3)为冗余向量(它的功能能由其余向量代替)。当然，该等式也能等价变形为2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0)，也就是能找到不全为零的数2,3，-1把向量组I组合成零向量。我们把这种向量组称为线性相关的向量组。有三个理解角度：1)存在不全为零的数将其组合起来构成零向量(即定义);2)至少存在一个向量能由其余向量线性表出(对应一个定理);3)向量组中有冗余向量(朴素的理解方式)。

再观察向量组II，发现其情况与向量组I正好相反。我们也可以从三个角度理解它：1)不存在不全为零的数将其组合起来构成零向量;2)不存在任何一个向量能由其余向量线性表出;3)向量组中没有冗余向量。另外，第1)点还可以等价地描述成：若用实数将向量组合起来使其为零向量，则这组实数必全为零。我们把这种向量组II这种类型的向量组称为线性无关的向量组。线性无关是和线性相关相对应的一个概念。

通过对上面这个小例子的分析，我们对线性相关和线性无关这两个概念有了基本认识。要想有更深刻的认识，我们需要深入探究其定义。这时可能有同学耐不住性子了：说了半天概念，这和咱们最终要讨论的向量组的秩有什么关系?印象里有个极大线性无关组的概念还没说?另外，矩阵的秩和向量组的秩有什么关系?秩有哪些应用?这些东西都没说呢!别急，罗马不是一天建成的。指望三篇文章把线性代数最难的两个概念彻底谈清楚还是要求有点高的。