考研数学：寻根究底之随机变量篇（二）

在弄清了随机变量的含义后，我们思考一个问题：用什么方式去描述它?随机变量有两个要素：取值和取值对应的概率。而分布是描述随机变量的方式。分布包括三种：分布函数，分布律和概率密度。为什么要有三种，这么麻烦，一种多简单?这就像现金可以完成支付，为什么还会有公交卡?因为我们坐公交时刷卡更方便些。分布函数确实可以描述所有随机变量，但对于离散型随机变量，用分布律描述较为方便;对于连续型随机变量，用概率密度描述较为方便。

分布函数是描述随机变量的通用方式。对于随机变量X，我们称F(x)=P{X=x}，(x属于R)为其分布函数。关于分布函数，前文我们讨论过一种理解角度，此外，我们还可以从以下几个角度理解。

1.F(x)=P{X=x}= P{X属于(负无穷，x]}，意味着X的分布函数F(x)是随机变量X落入区间(负无穷，x]的概率。

2.对于上面用掷硬币这个随机试验定义的随机变量X，大家动手写一下它的分布函数，不难得到如下结果：当x0时，F(x)=0;当0==1时，F(x)=1。我们看一下F(x)的三个函数值是如何得到的：当x0时，X在x以左没有取值，所以概率为0，进而F(x)的函数值为0;当0==1时，X的取值0和1在此范围内，所以分布函数把0和1对应的概率含进去，F(x)的函数值为1/2+1/2=1。通过以上分析过程，我们可以得到，离散型随机变量的分布函数可以理解成概率的累加，累加的是X落入区间(负无穷，x]的概率。另外，大家动手画一下F(x)的图像，观察其形状，会发现它是一个阶梯形函数。那么是否所有离散型随机变量的分布函数都是阶梯形函数呢?是。大家也可以想想为什么如此?分布函数累加的是(负无穷，x]概率，在随机变量有取值的点，分布函数把该点的概率加进去，函数图像就在该点发生跳跃，跳跃的高度恰为随机变量取该点的概率;在随机变量没有取值的区间，没有概率，分布函数的函数值没有增加，函数图像为一条水平的线段(或射线)。

3.随机变量X不是高数中的函数，那么其分布函数是高数中的函数吗?是。我们观察上面写出的分布函数的表达式和图像，会发现它就是一个普通的分段函数，是高数的中的函数。

在讨论完随机变量后，我们讨论多维随机变量。

先考虑一个问题：什么叫多维随机变量。想一下，咱们在哪个地方提到过多维?高数中有二维平面，三维空间。线性代数中向量的维数即向量分量的个数。所谓n维随机变量，就是一个向量，该向量的每个分量是定义在同一个样本空间上的随机变量。或者理解成n个一维随机变量放在一块考虑。

我们学习多维随机变量，要和一维对比起来理解。前面提到，我们是用分布描述一个随机变量的，分布有三种：分布函数，分布律和概率密度。那么，推广一下，就得到了二维随机变量的描述方式。先看分布函数。

一维随机变量的分布函数是个一元函数F(x)，它是一维随机变量X落入到一个区间(负无穷，x]的概率;相应地，二维随机变量的分布函数应是一个二元函数F(x，y)，它是二维随机变量(X,Y)落入一个平面区域(负无穷，x]乘(负无穷，y]的概率。一维随机变量的分布函数有三条性质：单调不减，0，1之间，右连续。那么推广过来，就得到了二维随机变量分布函数的性质：关于x关于y均为单调不减;函数值在0，1之间;关于x关于y均为右连续。理解起来也不困难：所谓关于，就是把一个变量固定让另一个变量变化;分布函数是一个概率，当然在0，1之间，这里与一维有所不同(F(负无穷，y)= F(x，负无穷)=0)，只需注意到定义中的逗号是且的意思。最后一条性质可以结合图像理解，考得不多。

仍有一个问题：一维随机变量的分布函数的三条性质是充要条件，那么二维随机变量的分布函数的这四条性质是充要条件吗?这个考试不要求。当然，其它类似理解：如F(x)是一维随机变量的通用描述方式，每个随机变量均可对应一个分布函数;相应地，F(x，y)是二维随机变量的通用描述方式，每个二维随机变量均可对应一个分布函数。

理解了二维分布函数的定义和描述方式后，我们看看二维随机变量的类型。回顾一下一维随机变量有哪些类型?离散和连续。推广一下，可以得到二维离散型和连续型随机变量。

什么是一维离散型随机变量?无非是取值为有限或者可列无限个的随机变量。类似的，二维随机变量，若其取值是有限或可列无穷对，则称其为二维离散型随机变量。并且二维离散型随机变量的描述方式与一维一致，也是写出所有可能的取值，写出取值对应的概率即可。差别在于二维的取值是实数对，而一维是实数。

类似地，我们可以得到二维连续型随机变量的定义及性质。

二维随机变量的分布函数、分布律和概率密度统称联合分布。