考研数学高等数学复习指导：矩阵对角化

首先是矩阵对角化的概念：对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P-1AP=(为对角矩阵)成立，则称A可相似对角化，否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。

重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵的n个主对角线元素必是A的n个特征值1，2，，n(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X1，X2，，Xn是A的分别属于1，2，，n的特征向量，且X1，X2，，Xn线性无关，即有：P-1AP=，其中=diag(1，2，，n),P=(X1，X2，，Xn)为可逆阵，且AXj=Xj(j=1,2,,n).

并非所有的n阶矩阵都可对角化，只有满足一定条件的矩阵才可对角化，下面是几个相关结论：

结论1：n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

结论2：若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则A必可对角化。

结论3：设i是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为ni(即i是ni重特征值)，其几何重数为mi(即属于i的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(iE-A)X=0的基础解系中的向量个数，mi=n-r(iE-A)),则恒有mini。

结论4：设n阶矩阵A的两两不等的特征值为1，2，，s(1n)，则矩阵A可对角化的充分必要条件是，对A的每一个特征值i，都有mi=ni(i=1,2，，s)。