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考研数学高等数学复习指导:矩阵对角化

2014-08-04 02:08:30
查字典公务员网

首先是矩阵对角化的概念:对于n阶矩阵A,若存在一个n阶可逆矩阵P,使P-1AP=(为对角矩阵)成立,则称A可相似对角化,否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。

重要定理:若n阶矩阵A可以对角化,则对角矩阵的n个主对角线元素必是A的n个特征值1,2,,n(包括重根),其相似变换矩阵P的n个列向量X1,X2,,Xn是A的分别属于1,2,,n的特征向量,且X1,X2,,Xn线性无关,即有:P-1AP=,其中=diag(1,2,,n),P=(X1,X2,,Xn)为可逆阵,且AXj=Xj(j=1,2,,n).

并非所有的n阶矩阵都可对角化,只有满足一定条件的矩阵才可对角化,下面是几个相关结论:

结论1:n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

结论2:若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值,则A必可对角化。

结论3:设i是矩阵A的任一个特征值,其代数重数为ni(即i是ni重特征值),其几何重数为mi(即属于i的线性无关的特征向量的最大个数,也是齐次线性方程组(iE-A)X=0的基础解系中的向量个数,mi=n-r(iE-A)),则恒有mini。

结论4:设n阶矩阵A的两两不等的特征值为1,2,,s(1n),则矩阵A可对角化的充分必要条件是,对A的每一个特征值i,都有mi=ni(i=1,2,,s)。

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