考研数学线性代数各章复习要点及命题特点（六）

二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工业应用中都占有重要地位。这部分内容主要给出了二次型及其标准形的定义、性质及将二次型转化为标准形的方法，讨论了二次型的惯性定律和二次型正定的分类和判定，得出了二次型正定性和正定矩阵的判定方法。二次型在最近几年内考查的频率比较高，下面查字典公务员考研辅导老师就这一部分内容进行归纳总结。

二次型的考试内容：

二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩，惯性定理，二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性。

二次型的考生要求：

1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。

2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。

3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

二次型部分考查的能力有：

3. 了解合同变换与合同矩阵的概念，注意矩阵合同、相似、等价的区别。

4. 理二次型的标准形、规范形的概念，重点掌握用正交变换化二次型为标准形和会用配方法化二次型的标准形。注意标准形和规范形的区别，规范形是唯一的，标准形不是唯一的。

5. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。要求考生具有正确判定二次型正定性的能力。

二次型常考的题型主要有：

1. 二次型标准型的考查。

(1) 用正交变换化二次型为标准形或用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵;

(2) 已知二次型的标准形或规范形，求二次型中的未知参数;

2. 判别(证明)二次型(实对称矩阵)的正定性;

(1) 判别二次型或其矩阵的正定性;

(1) 确定参数值使二次型或其矩阵正定;

3. 合同矩阵与合同变换

(1) 判别(证明)两实对称矩阵合同;

(2) 讨论两矩阵相似与合同的关系;

二次型是考试考查的重点，同学们在复习时应该给予足够的重视。