强化阶段矩阵复习

矩阵是线性代数的核心概念之一，而且也是每年考研真题中必然会出现的内容，而且基本每年都会有一个单独的选择题或者填空题来考察矩阵。但矩阵部分的知识点相对于其他章节较多，考点同样较多，有矩阵的运算、逆矩阵、初等变化、矩阵方程、矩阵的秩、矩阵的分块、矩阵等价等等。大纲对该部分的要求为，了解特殊矩阵如对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等，并且了解其相关的性质;掌握线性代数的运算法则，逆矩阵的概念、性质及其可逆的充要条件，理解伴随矩阵概念，会计算伴随矩阵。通过对大纲的简单了解，我们不难发现，矩阵这一大模块中，逆矩阵是重中之重。通过对过往十年的真题深度分析，也会发现考察逆矩阵的频率远高于其他知识。

所以同学们在强化阶段复习矩阵这一大模块时，要以逆矩阵为重，要能够从两个角度掌握逆矩阵，首先是可逆性的讨论，掌握矩阵可逆的等价条件，能够通过如矩阵的秩、行列式的值、特征值以及线性方程组中推导出矩阵可逆;其次就是能够准确快速的求解逆矩阵，在求解逆矩阵中，对于阶数不高具体型行列式要能够通过初等变化准确快速求解，对于抽象性矩阵的逆矩阵要通过定义、等价条件以及伴随矩阵求。这是在学习逆矩阵中对同学们的基本要求。

同学们在暑期复习该模块时，要有针对性的复习，不单单是把之前做过的题目再做一次，或者随便找一本书，或者直接做真题都不是合理的。本阶段最好能够首先对题目进行简单的分类和筛选，筛选题目的一些标准，首先针对性要强，比如在逆矩阵的求解中，要能够针对性的定义求解、伴随矩阵求解、初等变换、分块矩阵这样自己先把相关的题目放到一起，做完一类题目之后进行总结;其次选择题目难度上不要过大，如果一些题目十几分钟还没有思路，可能是这个题目考察的方向过于偏了，做题过程中要讲究效率;最后在暑期阶段做题还要保证的一定的量，这一点无需多讲了。

同时在矩阵的这一个大模块中，矩阵对应的行列式计算是矩阵计算的基础，虽然每年直接考察矩阵的行列式的计算很少，但作为基础工具，在暑期阶段也要给予足够的重视。在这我们把行列式计算分为有限阶行列式计算和n阶行列式计算来归纳。有限阶行列式计算的常用方法有：利用行列式的性质把行列式中的元素化为尽可能多的零，然后用行列式定义进行计算，有时行列式能被化为特殊行列式(如三角行列式)进行计算。n阶行列式计算的常用方法有：可以先用上述有限阶行列式的方法(多化零、化三角行列式法)，有时观察行列式可以发现行列式有某种特殊结构(如一个高阶行列式可以表示成较低阶行列式的线性关系式)，就可以根据此结构选用递推法、归纳法、拆项法、升阶法、利用范德蒙德行列式法等来计算。关于详细的行列式的求解方法，我们会在以后的文章中进行详细讲解，这儿只是简单的给同学们几个方向性的指导。

最后，由于矩阵知识点相对较多，而且和其他的考点联系错综复杂，所以同学们要对这一模块的总结多用一些时间，好好理清楚这其中的联系，不单单是基础阶段的巩固知识，而是要让自己学的知识能够成系统性。比如讲到伴随矩阵，我们能够联系到，伴随矩阵与逆矩阵的关系，如果该矩阵不可逆，可以联系到伴随矩阵与矩阵乘积公式。在比如关于初等矩阵，我们不单单要知道其定义，连通它的逆矩阵形式，以及左行右列法则。

（本文作者为查字典公务员考研辅导老师李森）