考研数学多重积分

多重积分包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分，一直以来多重积分都是考研高等数学的重点，尤其是对数一、数三而言，更是重中之重，每年都至少会考一道大题，选择填空的题目也是以各种各样的形式出现，所以对于多重积分的知识点必须引起各位考生的重视。

二重积分是三重积分的基础，是基于单积分发展起来的，它的几何意义就是求一个空间立体图形的体积。在建立了二重积分概念以后，三重积分是其自然的推广，没有本质折差别。在计算上看来，二重积分与三重积分都是最终化为定积分来计算的，但三重积分不论是采用先二后一还是先一后二，都要通过二重积分的计算，所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。

三重积分是二重积分的进一步延拓，它的几何意义就是求一个空间立体图形的质量。对三重积分来说，计算的基本思路是转化为定积分，但计算的繁简取决于坐标系的选择，而坐标系的选择取决于积分区域的形状。一般来说，当积分区域是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转面与其他曲面所围成的空间立体时，宜利用柱面坐标变换计算;当积分区域是球体、锥体或球本省的一部分时，宜利用球面坐标变换计算;当积分区域是长方体、四面体或任意形体时，宜利用直角坐标计算。

曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分，它的物理意义分别是平面曲线或者空间曲线的质量和变力做功。曲面积分也分为第一型曲面积分和第二型曲面积分，它的物理意义分别是空间曲面的质量和通过曲面的流量。曲线积分和曲面积分是数学一试卷考试的重点，每年必考，经常是以解答题的形式来考查，其中对坐标的曲线积分、对坐标的曲面积分考查最多，有的年份还会再考查一道客观题。

曲线积分和曲面积分这部分内容考试是以计算为主，无论是曲线积分还是曲面积分，都可以将曲线方程(或者曲面方程)代入被积函数进行化简。第一类曲线积分的性质与二重积分的性质类似，第一类曲面积分的性质与三重积分的性质类似，在计算时先利用性质化简，然后利用公式计算.第一类曲线积分和第一类曲面积分是不需要考虑方向的，而第二类曲线积分和第二类曲面积分是有方向的，所以在计算时，一定要注意符号的问题。

第一类曲线积分的计算主要是利用参数方程转化为定积分，第二类曲线积分的计算除了利用参数方程进行求解，还有一个考试的重点方法是利用格林公式，这是考试的重点。在利用格林公式时，一定要注意格林公式的条件。若积分曲线不是封闭曲线，需要添加辅助曲线构成封闭曲线;若所围的区域含有奇点，则需要挖洞来挖掉奇点;若封闭曲线不是正向边界曲线，则需要出现负号。

对于多重积分，考试的时候更多的是以计算题的形式出现，并且大家要熟知多重积分的计算方法和使用范围，针对不同的题目使用不同的方法;另外，做题的过程中大家一定要细心，多重积分的计算往往比较复杂、比较繁琐，所以需要大家拥有比较强的计算能力和比较高的计算效率。尤其是在曲线积分、曲面积分中格林公式和高斯公式的应用，一定要注意公式成立的条件，不要盲目的进行使用和计算，然而考试的过程中，题目也往往利用大多数考生不注意格林公式和高斯公式的使用条件，在公式的使用条件上为各位考生设置陷阱。

在多重积分的计算和考试过程中，有很多的考生因为不能画出积分区域而无法进行计算，这一点需要考生熟悉解析几何的知识，另外有一些题目也确实画不出积分区间，这个时候需要各位考生注意到被积函数的性质，如对称性等。

（本文作者为查字典公务员考研辅导老师尚恩茂[微博]）