政法干警行测技巧：不定方程解法大全

方程思想是一种很基本且重要的数学思想，在高频题型中都有该思想的应用，例如年龄问题、溶液问题、容斥问题以及极值问题都会利用方程思想来解决问题。当然方程法也是考生在平时作答数量关系题目时最常用也是最喜欢用的方法之一，但是在行测考试中，往往将不定方程作为一个重要而固定的考点，在不定方程中我们会发现，这一类题目题干描述得比较清晰，对题目的理解往往不会存在很多的问题，列式也比较简单，但是在解不定方程的过程中，考生们往往感觉束手无策，很多考生在面对这个拦路虎时，往往凭运气，能看出来的就做，不能看出来就放弃了。然而实际上这类题型在解决的时候是有固定套路的，只要你能掌握好这些套路，基本上大部分的不定方程问题都能搞定。因此，接下来将会为大家梳理一下目前不定方程问题的常用的求解方法。

(一)尾数法

若未知数有5x或10x这样的数值，它们的尾数比较少，可以通过确定尾数，进而缩小未知数取值范围。

【例】某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法?

A.3 B.4 C.6 D.8

【解析】根据题意可以列出式子5x+7y=142，由于题目中未知数的系数出现5，所以可以用尾数法确定尾数。5x的尾数只有两种情况0或者5，那么对应的7y的尾数就只能是2或者7，这样加和后才能是结果为2的数，7y只有当y=1、6、11、16时尾数是符合题意要求的，所以有4种不同情况。答案选B。

(二)奇偶性

观察不定方程中未知数的奇偶性质，从而减少未知数的取值情况。

【例】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?

A.3、7 B.4、6 C.5、4 D.6、3

【解析】根据题意可以列出式子11x+8y=89，两个未知数一个方程，典型的不定方程。由于题目中未知数的系数出现了偶数，所以可以用奇偶性判断选项。8y是偶数，89是奇数，则11x就得是奇数，则x是奇数，排除B、D选项。之后代入排除就可以了，把A选项打入33+8y=89，解y=7，符合题意。答案选A。

(三)整除法

当方程中未知数是整数，且方程中有多个数是某一个数的倍数时，我们可以尝试整除性来解题。

【例1】某公司六名员工一起去用餐，他们各自购买三种不同食物中的一种，且每人只够买一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

A.1 B.2 C. 3 D. 4

【解析】根据题意可以列出式子15x+7y+9z=60，由于式子中15、6、60都是能被3整除的数，所以这道题目我们就想到用整除去做，60是能被3整除的数，15x，9z也是能被3整除的数，则要求7y也得能被3整除，则y是能被3整除的，符合题意要求的只有C选项。

【例2】某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照x%税率征收，超过6000美元的部分按照y%税率征收(x、y为整数)。假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元的所得税，则y为多少?

A.6 B.3 C.5 D.4

【解析】根据题目给的条件可以列出方程：30001%+(6000-3000)x%+(6500-6000)y%=120。化简得6x+y=18，此题只能列出这一个方程，不能直接解出来，但是最终化简出来的式子中有两个常数6、18都是6的倍数，由此想到y=6(3-x)，即y是6的倍数，所以只有A符合，选择A。

(四)余数性质

主要利用同余特性的前两条性质：余数的和能决定和的余数;余数的差能决定差的余数。

【例1】现在有100个小球，要将其装到大小两种袋中，大袋子能装3个球，小袋子能装1个球，要把全部的球放到袋子中，需要多少个小袋子?

A.41 B.42 C.43 D.44

【解析】设大、小两种袋子分别用了x、y个(x、y均为正整数)，则可以列出方程3x+y=100，求y值，此方程中x的系数为3，则3x必为3的倍数，而100除以3余1，所以可以得出y除以3应该余1，满足这个条件的只有C符合，选择C

(五)消元法和特值法

根据题意可列式子，这个式子中有三个未知数，无论是奇偶性、尾数法还是整除都不合适，这种情况下，且这两种方法主要解决一类特殊题型即各买一件的问题。

【例】去商店买东西，如果买7件A商品，3件B商品，1件C商品，一共需要50元，如果是买10件A商品，4件B商品，1件C商品，一共需要69元，若A、B、C三种商品各买2件，需要多少钱?

A.28元 B.26元 C.24元 D.20元

【解析】很明显，根据题意我们可以很简单地列出方程表达式：

7A+3B+C=50;10A+4B+C=69

解法一：消元法

根据问题，我们其实只需要算出A+B+C等于多少即可，所以第一个式子乘以3，第二个式子乘以2，相互做差即可得到A+B+C=350-269=12，故各买两个，答案为24，选C。这种方法需要考生对数字有比较好的敏感度。

解法二：特值法

设A=0，式子1变为：3B+C=50;式子2变为：4B+C=69

可以解出B为19，C为-7，故2(A+B+C)=24

(六)代入排除法

所谓的代入排除法就是将选项代入题干里面，看看能够符合题目意思。这种方法相对简单，考生也非常容易掌握，下面以一道例题来稍微解释一下。在不定方程问题中，当题目直接求列出方程关系中的未知数，利用代入排除方法能快速代入选项，选出答案。

【例1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为()个。

A.1、6 B.2、4 C.3、2 D.4、1

【解析】假设红色文件袋x个，蓝色文件袋y个，则有7x+4y=29。在这个式子中出现了x、y两个未知数，只有一个式子，典型的不定方程问题。考生如果能注意到题目中所要求的就是x、y的具体值，在有选项的情况的，直接进行代入排除即可，很容易得出C为正确选项。

在对不定方程的学习过程中，我们用的所有办法都是要根据题目特点去限制未知数的范围，逐渐的选出最终正确的结果。把握这个根本性原则，再结合方法应用题目特点，我们在解题时就有了方向，有了原则，就不会盲目用方法去一个一个尝试。希望考生熟悉各种方法适用的环境，在解题之前根据题目选择合适的应对方法，以达到成熟灵活运用的程度。