2017应用统计硕士（MAS）考研常考知识点――参数估计

（1）点估计

矩估计

设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数的矩估计量。

若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。

极大似然估计

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称

为样本的似然函数。

若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。

（2）估计量的评选标准

无偏性

设为未知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。

E（）=E（X），E（S2）=D（X）

有效性

设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。

一致性

设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有

则称为的一致估计量（或相合估计量）。

若为的无偏估计，且则为的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

（3）区间估计

置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即

那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。

单正态总体的期望和方差的区间估计

设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：

（i）选择样本函数；

（ii）由置信度，查表找分位数；

（iii）导出置信区间。

已知方差，估计均值

（i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

未知方差，估计均值

（i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

方差的区间估计

（i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

（iii）导出的置信区间