高等数学复习指导：导数的应用之单调性

导数的应用这部分内容可以说是大家在复习时候的一个重点，因为这部分内容几乎是年年必考的。这部分内容是有它本身的特点的：1、考点多。这部分内容涉及到的考点很多，这带来的一个必然结果就是这部分的公式、定理很多，也就会导致同学们对这部分的内容在记忆的时候会带来一定的困难，同时考点多也必然会意味着难点多，大家在复习的时候一定要着重关注。2、综合性强。考研数学的一个特点就是综合性强，而这部分题目很好地体现了这一点，这部分的题目很容易就和其他部分的知识结合起来考查大家，灵活性很强，这也就导致对大家的要求很高，大家一定要掌握这部分题目解题的基本思想。

这里，先和大家总体说一下这部分数一、二、三公共的考点：

1、切线和法线，只需要理解导数的几何意义是切线的斜率即可。

2、单调性，与导数联系很紧密，关键要会求函数的导数。

3、极值，以单调性为基础，要会判断导函数在各个区间上的正负

4、凹凸性，需要通过二阶导数的正负来判断。

5、拐点，连续函数凹凸性的分界点。

6、渐近线，记住求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的求法。

求切线和法线这个考点是这部分最简单的一个考点，大家只需要理解导数的几何意义是切线的斜率，法线斜率与切线斜率乘积为-1即可，所以对于这个考点大家只需要会求各种类型函数的导数即可。下面我们看第二个公共的考点，也就是函数的单调性。

函数的单调性这个考点整体上说是通过导数来判断的。这个考点在考试中有两种考查大家的方式，一个是直接考查，一个是间接考查，我们先看直接考查。

间接考查

这部分包括两个小的考点：证明不等式和确定方程根的个数。证明不等式是高等数学中证明题经常出的考点之一，它的做法是很固定的，将不等式两端相减得到辅助函数，证明辅助函数是大于0的。这也是借助函数的单调性去处理的，处理方法可以参看前面说的求函数单调区间的方法，这个考点大家一定要去着重练习，掌握这部分题型的基本解题方法。确定方程根的个数要用到的基本思想是零点存在定理，但是用零点存在定理只能判断函数在区间上是否有根，但是不能确定方程根的个数，此时还要结合函数的单调性去判断：如果函数在某区间上单调且端点处函数值异号，就可以得到函数在该区间上有且仅有一个根。

总体上来说，函数的单调性是一个比较重要的考点，这个考点涉及到的题型解题的关键就是要会求导数，通过导数判断函数的单调区间，只要做到这两点这部分的题目就不会出问题。