历年考研数学三概率统计常考重要题型剖析（四）

随着2015年考研日期的日趋临近，莘莘学子们正忙碌而紧张地进行着各考试科目的最后总复习，在各门考试科目中，考研数学作为一门公共科目，常常令一些考生感到头疼、没有把握，这一方面是因为数学本身的逻辑性、连贯性很强、公式多、计算量大，要学好它有一定难度，另一方面是因为某些考生以前对数学的重视程度不够，基础知识学得不够扎实，所以面对即将到来的大考信心不足。为了帮助这些考生能顺利通过考试，下面分析数学三概率统计部分一维随机变量及其分布的两类重要题型及解题方法。

题型：求二维离散型随机变量的分布函数及概率

二维离散型随机变量是概率统计的基本知识点，在历年考研数学题中出现的频率很高，必须熟练掌握其计算方法。其常用的计算方法包括：

1)利用随机事件的各个概率计算公式，包括：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、条件概率公式、对立事件概率公式;

2)利用分布律的性质计算概率，常用;

3)在涉及到有关古典型概率问题时，常利用排列组合公式计算。

例1.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=__________ ，b=__________

(2005年考研数学三真题第6题)

分析：从已知条件判断，此题首先要利用二维分布律的性质：，然后结合两事件独立这个条件解题。

解：由分布律的性质得 a+b=0.5 ，又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，于是P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1},P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a，P{X=0}=0.4+a，P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=a+b，故a=(0.4+a)(a+b)，而 a+b=0.5，因此a=0.4，b=0.1

例2.设随机变量

(i=1,2)，且满足P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}等于( )。

(A) 0 (B)(C)(D) 1

(1999年考研数学三真题第二(5)题)

分析：由全概率公式得P{X1=X2}=P{X1=X2=-1}+P{X1=X2=0}+P{X1=X2=1}=P{X1=X2=0}，因此只需要根据条件求出P{X1=X2=0}即可

解：∵P{X1X2=0}=1，P{X1X20}=1-P{X1X2=0}=0，P{X1=X2=-1}=P{X1=X2=1}=0，由概率加法公式得P{X1X2=0}= P{(X1=0)+(X2=0)} =P{X1=0}+P{X2=0}-P{X1=0，X2=0}=-P{X1=0，X2=0}=1-P{X1=0，X2=0}，故P{X1X20}=P{X1=0，X2=0}=0，选(A)

例3.袋中有1个红球、2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

(Ⅰ)求P{X=1|Z=0};

(Ⅱ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布

(2009年考研数学三真题第23题)

分析：条件涉及到古典概率问题，计算时会用到一些排列组合方法，另外会用到条件概率公式。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)X,Y的取值范围为0,1,2，且X+Y2，于是P{X=1，Y=2}=P{X=2，Y=1}=P{X=2，Y=2}=0，，同理可求出(X,Y)取其它值的概率，综合得(X,Y)的概率分布为

上面就是考研数学三概率统计部分一维随机变量及其分布的两类重要题型及解题方法，预祝各位考生取得佳绩。