考研数学复习指导：寻根究底之秩篇（二）

一个矩阵的秩为2意味着什么?按照矩阵的秩的定义，我们可以得到该矩阵中非零子式的最高阶数为2。当然这是直译，有没有意译(或更利于解题的翻译方式)?有。可以这么翻译：该矩阵中存在2阶非零子式，且不存在3阶非零子式。前半句话怎么理解?这不就是直译的那句话的自然结果吗?或者反过来理解：试想，如果若这半句话不成立，即矩阵中不存在2阶非零子式，那矩阵中非零子式的最高阶数就不可能为2了(应小于或等于1)，这与已知条件矛盾。那么，根据前面的分析，这半句话等价于矩阵的秩大于等于2。类似的讨论可以对后半句话进行。不难得到这半句话等价于矩阵的小于等于2。这里有两个个问题：矩阵不存在3阶非零子式有几种情况呢?不难发现有两种：

(1)矩阵没有3阶子式(跟别谈3阶非零子式了，如一个2乘2的矩阵);

(2)矩阵有3阶子式，但3阶子式全为零。另一个问题，如果矩阵不存在3阶非零子式，那么有可能存在4阶及以上阶的非零子式吗?如果你对行列式的展开定理比较熟悉，应该不难得出答案。

推广一下，我们就得到了一般情况：

矩阵的秩为k等价于矩阵中非零子式的最高阶数为k，也等价于矩阵中存在k阶非零子式，且不存在k+1阶非零子式。

还有两个特殊情况需要我们注意：

矩阵的秩为1等价于矩阵中存在1阶非零子式，且不存在2阶非零子式。思考：什么是1阶子式?不就是矩阵的元素吗?那么1阶非零子式就是非零元素了。进一步，矩阵中存在1阶非零子式也即矩阵中存在非零元素。这有说明了什么呢?这说明矩阵不是零矩阵。再分析后半句话，2阶子式为零意味着什么?大家可以自己举个例子，是不是说明二阶行列式的元素按行按列成比例(这里的成比例是广义的，比如二阶行列式有一行元素为零，那0除0理解成可以等于任何数)。进一步所有二阶子式全为零说明什么，是不是说明整个矩阵是按行按列成比例的?分析至此，秩为1的矩阵长什么样子大家应该有个印象了：存在非零元素，且按行按列成比例。

n阶方阵的秩为n等价于其自身取行列式后不为零。这个大家自己分析，应该不困难。这种情况矩阵的秩达到了最大值，秩是满的，我们称该矩阵满秩。

二、向量组的秩

要讨论向量组的秩，先要搞清楚什么是向量。其实咱们在中学就讨论过向量。中学数学对向量的定义是既有大小又有方向的量。中学物理中把向量称为矢量。那么线性代数中讨论的向量与中学接触过的向量是什么关系?

首先回顾一下，在中学我们是如何表示向量的。中学数学中主要讨论平面上的向量。平面上的向量是可以平行移动的。两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。好，假设在平面直角坐标系中，对于平面上的任何一个向量，我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。这时向量终点的坐标同时也是向量的坐标。这样，我们就可以用一个实数对表示一个平面向量了。

一个实数对实际是我们线性代数中的一个二维行向量。而线代中讨论的向量是任意n维的。所以线性代数中的向量可视为中学向量的推广。

下面是向量的数学定义：

由n个实数a1，a2，，an构成的有序实数组(a1，a2，，an)称为一个n维行向量。类似可定义列向量。

问个问题：向量和矩阵是什么关系?向量可视为特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)。这是理解向量的一个很好的角度。因为学习向量时，我们已把矩阵讨论得很清楚了，所以通过矩阵理解向量就能省不少事。

知道了什么是向量，那什么是向量组呢?向量一般来说不是单独出现，而是成组出现的。我们把多个向量放在一起考虑，就构成了向量组。

当然向量组的严格数学定义也不难理解：由若干个同型向量构成的集合称为一个向量组。这里的同型可以理解成矩阵同型，也可以用向量的语言描述成：同为行向量或列向量且维数相同。