根据导数图像确定函数的极值和拐点个数

如何根据函数的图像确定函数的极值点和拐点，相信考生都知道怎么下手解题。但是，如果已知的是函数导数的图像，考生们又该如何下手呢?

在解答这个问题之前，我们先来回顾一下，什么叫做函数的极值点和拐点，所谓极值点指的是函数在该点的某个邻域内取得最值的点，对于可导的函数而言，首先需要找出导数为零的点，随后依次检验这些点，如果在该点的左右两侧导数的符号改变，或者二阶导不为零，则该点为极值点，进一步说，二阶导大于零的点为极小值点，二阶导小于零的点为极大值点;拐点指的是连续函数的凹凸性改变的点，也可以看作是导函数的极值点，是导函数单调性的分界点，左右两边二阶导数符号不同。对于可导的函数而言，拐点处二阶导必为零，且三阶导不为零。

所以，对于一个函数来说，已知该函数的导函数的图像，就可以通过图像的特殊点和变化趋势，找出极值点和拐点。

例如，2003年考研数一就对该知识点进行了考查，题目已知函数 在整个实数集上连续，下图为其导函数，求函数的极值点和拐点的个数。首先，我们来分析极值点，极值点指的是导数为零的点，或者不可导点，通过该图，我们可以看出导数为零的点有三个分别是图中的点1、点3、点5，其中，点3和点5处导数从负数变为正数，说明函数先减小后增加，为此这两个点均为极小值点，点1处导数由正变负，说明函数先增大后减小，即在该点处取得极大值。此外，在点4处函数是不可导的，但是该点处左右导数分别为正无穷和负无穷，也就是说在该点处函数值先增加后减小，可见该点处函数为极大值点，所以可知函数的极值点中，极大值点有两个，极小值点有两个。

这道题中，首先我们先找函数的驻点，找到了四个驻点，之后一一检查，分析驻点附近导数的符号变化情况，以最终确定函数的极值点。

考试中本题只对极值点进行了考查，下面根据这个图，我们来找一下函数的拐点个数。前面说过，对于可导函数而言，拐点处的二阶导为零，从图中可以看出在点2和点4处函数可能为拐点，点2处，导函数的导数为零，即二阶导为零，或者说该点处导函数的单调性改变，则该点是函数的拐点。点4的附近，可以看出导函数先增加后减小，导数的单调性改变，则该点为函数的拐点。

通过上述分析可知，极值点和拐点实际就是代表着函数与导函数单调性变化的