经济类数学线性代数复习指导

2014-07-08 10:07:30

查字典公务员网

关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出早、纲、基、活的四字方略，供经济类专硕考生参考.

一、早.提倡一个早字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手.因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科.和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功;另一方面，早计划、早安排、早动手是采取笨鸟先飞之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备2～3年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议.作为2015年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了.

二、纲.突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性.

由于全国基础数学教材(高等数学，线性代数，概率论和数理统计)并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(下称《大纲》)作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据.

为了让广大考生对考什么有一定的了解(不是盲目的备考)，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点.《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解考什么.历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题.当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配;试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，题海战术不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的.任何猜题及侥幸心理都会导致失败.只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾.

三、基.强调一个基字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练.

基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱.因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面.例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)：r(或r(A)=r，秩A=r).显然，定义中内涵的要点有：1.A中至少有一个r阶子式不为零;2.所有r阶以上均为零.3.若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零.要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零?小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零?这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.

例1 设A是mn矩阵，r(A)=r

(A)至少有一个r阶子式不为零，没有等于零的r-1阶子式.

(B)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式.

(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式.

(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零.

答案：(B)

基本方法要熟练掌握.熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆.把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决.

基本计算要熟练.学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实.在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风.特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换.用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等.可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果?从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要.只听(听各种辅导班)不练，只看(看各类辅导资料)不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人.

四、活.线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个活字.

线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的.如A是n阶方阵，若，|A|0(称A为非奇阵).A是可逆阵.有n阶方阵B，使得AB=BA=E.B=A-1=A*/|A|.r(A)=n(称A是满秩阵).存在若干个初等阵P1，P2，，PN，使得PNPN-1P1A=E.(A┆E)(E┆A-1).A可表示成若干个可逆阵的乘积.A可表示成若干个初等阵的积。A的列向量组线性无关(列满秩).AX=0，唯一零解.A的行向量组线性无关(行满秩).A的列(行)向量组是Rn空间的基.任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一).对任意的列向量b，方程组AX=b有唯一解，且唯一解为A-1bA没有零特征值，即iO，i=1，2，，n.=A是正定阵(正交阵，).

这种知识间的相互联系、渗透，给综合命题创造了条件，同样一个试题，可以从不同的角度有多种命制试题的方法.

例2 (2001年数学一第九题)设1，2，，s，是线性方程组AX=0的基础解系，1=t11+t22，2=t12+t23，，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，，s也是AX=0的基础解系.

解析本题的答题要点是：(1)对任意t1，t2，i，i=1，2，，s仍是AX=0的解;(2)对任意t1，t2，1，2，，s向量个数是s;(3)1，2，，s，线性无关t1s+(一1)n+1t2s0.

满足(1)、(2)、(3)时，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)0时，1，2，，s仍是AX=0的基础解系.

变式(1) (改变成线性相关性试题)

已知向量组1，2，，s线性无关，1=t11+t22，2=t12+ t23，，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，，s线性无关.

变式(2) (改变成向量组的秩的试题)

已知向量组1，2，，s的秩为s.1=t11+t22，2=t12+t23，，s=t1s+ t21，试问t1，t2满足什么条件时，r(1，2，，s)=s.

变式(3) (改变成等价向量组的试题)

已知1，2，，s线性无关，1=t11+t22，2=t12+t23，，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，，s和1，2，，s是等价向量组.

变式(4) (改变成子空间的基的试题)

设y是Rn的子空间，1，2，，s是V的基，1=t11+t22，2=t12+t23，，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，，s也是子空间V的基.